二乗可積分関数

二乗可積分関数とは解析学において、実数または複素数を値とする実変数関数$f(x)$が、区間$I=[a,b]$において、その絶対値の二乗の積分が有限である場合の関数である。

$in{t}_a^b|f(x){|}^2\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }$

この概念は、測定空間上で定義され、位相ベクトル空間に値を持つ関数に拡張される。

与えられた領域の全ての可測関数で、その領域内で二乗可積分関数の集合はヒルベルト空間、いわゆるL^p空間を形成する。

量子力学

二乗和の条件は、特に量子力学において、必要不可欠である。これは、素粒子の振る舞いを記述する波動関数、とりわけ系が特定の量子状態にある確率を喜寿する波動関数に対する基本的な条件を構成するからである。例えば、スカラー場に関連付けられたスピンを持たない粒子の状態は、波動関数$\psi (x,y,z)$の形を取る。ここで、積分は、

$p(V)=\underset{V}{\int }|\psi (x,y,z){|}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

これは、体積$V$内にその粒子が見つかる確率を表す。

このため、確率は必然的に有限かつ正規化可能でなければならないことから、次のような形の積分が存在し、有限な値を取ることが求められる。

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}x\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}y\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}z|\psi (x,y,z){|}^2$

この概念は、実数$p$に対してp可積分関数という概念へと一般化される。二乗可積分性は、$p=2$の場合の特殊な例に相当する。