ラダー演算子

ラダー演算子とは、別の演算子の固有値をそれぞれ増加または減少させる演算子であり、上昇演算子と下降演算子の総称である。主な用途は量子力学であり、増加演算子は生成演算子、減少演算子は消滅演算子と呼ばれ、特に量子調和振動子と角運動量演算子を記述するために用いられる。

2つの演算子$X$と$N$が交換可能である場合、

$[N,X]=cX$

あるスカラー$c$に対して、演算子$X$は別の演算子に対して、演算子$N$の固有値を$c$だけ遷移する作用をする。

$N\circ X|n⟩$	$=(XN+[N,X])|n⟩$
	$=(XN+cX)|n⟩$
	$=XN|n⟩+cX|n⟩$
	$=Xn|n⟩+cX|n⟩$
	$=(n+c)X|n⟩$

言い換えれば、$|n⟩$が固有値$n$を持つ演算子$N$の固有ベクトルであるなら、$X|n⟩$は固有値$n+c$を持つ$N$の固有状態である。$N$の上昇演算子は、$c$が実数正である演算子$X$であり、下降演算子は$c$が実数負である演算子である。

$N$がエルミート演算子である場合、$c$は実数でなければならず、$X$のエルミート共役演算子は次の交換関係に従う。

$[N,X^{†}]=-c{X}^{†}$

また、$X$が$N$の下降演算子であるならば、$X^{†}$は$N$の上昇演算子であることは真で、その逆も真となる。