ヘロンの公式

ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さから面積を求める公式である。

公式

3辺の長さを $a,b,c$ 、また $s=\frac{a+b+c}{2}$ としたとき、三角形の面積を S とすると

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

s を使わないで表現することもできる。

$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

例題

練習問題 : ヘロンの公式の利用1

3辺の長さが 6, 13, 17 の三角形の面積を求めよ。

解答例は右をクリックして表示！

ヘロンの公式より、面積Sは $\begin{array}{rl}s& =\frac{6+13+17}{2}=18\\ S& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{18(18-6)(18-13)(18-17)}\\ & =6\sqrt{30}(=32.86\cdots )\end{array}$

練習問題 : ヘロンの公式の利用2

3辺の長さが $\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}$ の三角形の面積を求めよ。

解答例は右をクリックして表示！

ヘロンの公式より、面積Sは $\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{{({\sqrt{3}}^2+{\sqrt{5}}^2+{\sqrt{7}}^2)}^2-2({\sqrt{3}}^4+{\sqrt{5}}^4+{\sqrt{7}}^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(3+5+7{)}^2-2(3^2+5^2+7^2)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{15^2-2(9+25+49)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{225-166}\\ & =\frac{\sqrt{59}}{4}(=1.92\cdots )\end{array}$

証明

ここではピタゴラスの定理を用いて導出する。三角関数を用いてより簡潔に導出することもできる（後述）。

△ABCの各辺の長さを $a=\mathrm{B}\mathrm{C},b=\mathrm{C}\mathrm{A},c=\mathrm{A}\mathrm{B}$ とおく。

頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとし、 $h=\mathrm{A}\mathrm{H}$ とおく。

△ABHにピタゴラスの定理を適用し、 ${\mathrm{B}\mathrm{H}}^2=c^2-h^2$

△ACHにピタゴラスの定理を適用し、 ${\mathrm{C}\mathrm{H}}^2=b^2-h^2$

辺BCの長さをBHとCHを用いて表すと、点Hが辺BC上にある場合とない場合で場合分けされ $a=\pm \mathrm{B}\mathrm{H}\pm \mathrm{C}\mathrm{H}$（複号任意） となる。よって、

$\begin{array}{rl}\pm \sqrt{c^2-h^2}\pm \sqrt{b^2-h^2}& =a\\ \pm \sqrt{c^2-h^2}& =a\pm \sqrt{b^2-h^2}\\ c^2-h^2& =a^2+b^2-h^2\pm 2a\sqrt{b^2-h^2}\\ \pm 2a\sqrt{b^2-h^2}& =a^2+b^2-c^2\\ 4a^2(b^2-h^2)& =(a^2+b^2-c^2{)}^2\\ b^2-h^2& =\frac{(a^2+b^2-c^2{)}^2}{4a^2}\\ h^2& =b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2{)}^2}{4a^2}\\ & =\frac{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}{4a^2}\\ h& =\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2a}\end{array}$

こうして求められたhから△ABCの面積Sを求めると、

$\begin{array}{rl}S=\frac{1}{2}ah& =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\cdots (*)\end{array}$

しかし、 a, b, c は本来対等なはずなのに式の形が対称になっていない。そこで、因数分解または展開することにより、対称式の形に整えていく。

因数分解する

$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{((a+b{)}^2-c^2)(c^2-(a-b{)}^2)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\cdots (1)\end{array}$

さらに $s=\frac{a+b+c}{2}$ とおくと、

$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\cdots (2)\end{array}$

よく見るヘロンの公式の形に変形できた。

展開する

$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2{b}^2-2b^2{c}^2-2c^2{a}^2)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)-(a^4+b^4+c^4)}\cdots (3)\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a^4+b^4+c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2)-2(a^4+b^4+c^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}\cdots (4)\end{array}$

最後まで展開した形は(3)だが、(4)の形も参考までに示す。

余弦定理を用いた導出法

(*)の導出まで示す。対称式の形に変形する過程は上記と同様。

△ABCにおいて $a=\mathrm{B}\mathrm{C},b=\mathrm{C}\mathrm{A},c=\mathrm{A}\mathrm{B},C=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$ とおく。

第2余弦定理より、 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

また、sinを用いた三角形の面積公式より、

$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}ab\sin C\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-{\cos }^{2}C}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}^2}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\frac{(a^2+b^2-c^2{)}^2}{4a^2{b}^2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\cdots (*)\end{array}$