ブール代数

ブール代数とは、代数系の一つ。イギリスの数学者・哲学者、ジョージ・ブールにちなむ。ブール束とも。

概要

ブール論理の演算はブール代数の一例で、応用例に組み合わせ回路(論理回路)の式表現がある。

定義・公理

$x,y,z\in \{0,1\}$と論理和$+$と論理積$\cdot$について

• 可換則: $x\cdot y=y\cdot x,x+y=y+x$
• 結合則: $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z,x+(y+z)=(x+y)+z$
• 分配則: $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z),x+(y\cdot z)=(x+y)\cdot (x+z)$
• 吸収則: $x\cdot (x+y)=x,x+(x\cdot y)=x$
• 相補則: $x\cdot \bar{x}=0,x+\bar{x}=1$

主な定理

$x,y\in \{0,1\}$と論理和$+$と論理積$\cdot$について

• 冪等則: $x\cdot x=x,x+x=x$
• 補元の補元: $\overline{\stackrel{‾}{x}}=x$
• 0: $x\cdot 0=0,x+0=x$
• 1: $x\cdot 1=x,x+1=1$
• ドモルガンの法則: $\overline{x\cdot y}=\bar{x}+\bar{y},\overline{x+y}=\bar{x}\cdot \bar{y}$

関連項目

• 0/1
• 集合論
• 2進数
• 論理回路