フォック空間

フォック空間とは量子物理学、特に場の量子論において粒子数が可変な多粒子系を数学的に記述するために用いられるものである。これはロシアの物理学者のウラジミール・アレクサンドロヴィチ・フォックにちなむ。粒子がボソン粒子かフェルミ粒子かによって、ボソンフォック空間またはフェルミオンフォック空間と呼ばれる。構造的には、フォック空間は量子力学的なヒルベルト空間である。

粒子数が固定された(その上の密度演算子の要素で、それぞれ大きさが1であるもの、または粒子数演算子の固有状態である。)フォック空間の基底状態は、フォック状態と呼ばれる。これは、第2量子化または占有数表現とも言う。

数学的には

• ボソンフォック空間${{ℱ}}_{+}({\mathscr{H}})$は、単一粒子ヒルベルト空間上のテンソル代数、より正確にはスカラー積に関する完成体である。
• フェルミオンフォック空間${{ℱ}}_{-}({\mathscr{H}})$は、単一粒子ヒルベルト空間上のグラスマン代数、より正確にはその完成体である。

適切に正規化された対称化テンソル積(ボソン粒子の場合)または外積(フェルミ粒子の場合)は、関数を誘導する。

$a^{*}:{\mathscr{H}}\times {{ℱ}}_{\pm }({\mathscr{H}})\to {{ℱ}}_{\pm }({\mathscr{H}}),(\psi ,\mathrm{\Phi })\mapsto a_{\psi }^{*}\mathrm{\Phi }$

ここで、$\psi \in {\mathscr{H}},\mathrm{\Phi }\in {{ℱ}}_{\pm }({\mathscr{H}})$

写像は、

$a_{\psi }^{*}:{{ℱ}}_{\pm }({\mathscr{H}})\to {ℱ}({\mathscr{H}})$

これは生成演算子と呼ばれる。

それに対する随伴作用素は、

$a_{\psi }:{{ℱ}}_{\pm }({\mathscr{H}})\to {{ℱ}}_{\pm }({\mathscr{H}})$

これは消滅演算子と呼ばれる。

それらには、標準的な交換関係が適用される。

$a_{\psi }{a}_{\varphi }\mp a_{\varphi }{a}_{\psi }=0$

$a_{\psi }^{*}{a}_{\varphi }^{*}\mp a_{\varphi }^{*}{a}_{\psi }^{*}=0$

$a_{\psi }{a}_{\varphi }^{*}\mp a_{\varphi }^{*}{a}_{\psi }=⟨\psi ,\varphi {⟩}_{{\mathscr{H}}}{\mathrm{id}}_{{{ℱ}}_{\pm }({\mathscr{H}})},$

ここで、上側の符号(交換子)はボソン粒子の場合に適用され、下側の符号(反交換子)はフェルミ粒子の場合に適用される。