ニュートン法

数学に於けるニュートン法とは方程式

$f(x)=0$

の近似解を求めるための数値解法の一つである。

概要

ここでは関数y=f(x)が或る区間[a,b]で微分可能＆下に凸及びf(a)<0、f(b)>0を満たすとする。すると中間値の定理より[a,b]内にf(c)=0となるx座標の点cが存在する。

ここでc<x₀なる点x₀にてy=f(x)の接線の方程式を求めると

$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

となるが、これにx軸と上記接線の交点x₁を代入すると

$0-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x_1-x_0)$

となり

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$

が得られる。次にこの点x₁での接線の方程式を求めてそれとx軸との交点x₂を計算すると

$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}$

が求まる。

以下同様の計算を繰り返すと次のような漸化式が導かれる。；

• $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)},(n=0,1,2\cdots )$

ここで

$d=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$

なる極限を考えれば

$d=d-\frac{f(d)}{f^{\prime }(d)}\therefore f(d)=0$

が成立する。従ってこの極限値はy=f(x)の零点cに等しいから上述の漸化式を用いれば方程式f(x)=0の実数解の近似値が求められる事が分かる。