デカルトの正葉線

デカルトの正葉線とは、$x^{3}+y^{3}-3axy=0$(aは定数)によって表せられる曲線。デカルトの葉線やデカルトの葉とも。

性質

• $y=x$に対して線対称である。
• $y=x$上では、原点と$\left({\frac {3}{2}}a,{\frac {3}{2}}a\right)$を通る。
• $x+y+a=0$が漸近線になる。
• 傾きは陰関数の微分から求まる。
• 第一象限に一つループをもち、そのループで囲まれる面積は、$S={\frac {3}{2}}a^{2}$
• マクローリンの三等分曲線と相互に45度回転させた形の関係にある。

媒介変数表示

媒介変数表示では、

• $x={\frac {3at}{1+t^{3}}}$
• $y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}}$
• (t≠-1)

と表せられる。 極座標θについて、tはtanθに等しく、t<-1は第四象限、-1<t<0は第二象限、0<tは第一象限の部分に対応する。

極方程式

極方程式では、

• $r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }}$

や

• $r={\frac {3a\sec \theta \tan \theta }{1+\tan ^{3}\theta }}$

と表せられる。