デカルトの正葉線

デカルトの正葉線とは、$x^3+y^3-3axy=0$(aは定数)によって表せられる曲線。デカルトの葉線やデカルトの葉とも。

性質

• $y=x$に対して線対称である。
• $y=x$上では、原点と$(\frac{3}{2}a,\frac{3}{2}a)$を通る。
• $x+y+a=0$が漸近線になる。
• 傾きは陰関数の微分から求まる。
• 第一象限に一つループをもち、そのループで囲まれる面積は、$S=\frac{3}{2}{a}^2$
• マクローリンの三等分曲線と相互に45度回転させた形の関係にある。

媒介変数表示

媒介変数表示では、

• $x=\frac{3at}{1+t^3}$
• $y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3}$
• (t≠-1)

と表せられる。 極座標θについて、tはtanθに等しく、t<-1は第四象限、-1<t<0は第二象限、0<tは第一象限の部分に対応する。

極方程式

極方程式では、

• $r=\frac{3a\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }$

や

• $r=\frac{3a\sec \theta \tan \theta }{1+{\tan }^3\theta }$

と表せられる。