ケーキを3等分するθ

ケーキを3等分するθとは、ホールケーキを円とみなし、面積が三等分になるようなV字に切ったときに表れる角度。

概要

円を三等分する場合、一般的な方法には、円の中心から120°$\left(={\frac {2}{3}}\pi \right)$ずつ分割し、Y字に切ることが考えられる。
一方で、円周の一点からV字に切る場合は120°のような有名角では三等分できない。

近似解

V字に切る場合、円の面積のうち${\frac {1}{3}}$だけ切り出す直線を合計2本を引けば良いから、
ケーキを3等分するθは面積の関係式を整理して以下の方程式の解であることが知られている。

${\frac {\pi }{3}}+{\frac {1}{2}}\sin(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}}$

$\theta +\sin(\theta )-{\frac {\pi }{3}}=0$

これは非線形方程式なので、ニュートン法による近似を考える。
まず初期値として、$f(\theta )=\theta +\sin(\theta )-{\frac {\pi }{3}}$に対して、 $\theta ={\frac {1}{6}}\pi$を代入すると、$f\left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{6}}$であり、 $\pi \approx 3$より$f\left({\frac {\pi }{6}}\right)\approx 0$と、解に近いことがわかる。 接線を引いて近似することで、$30\deg <\theta <30.72\deg$程度の値であると分かる。

拡張

一般の奇数Nについて、円の面積をN等分する場合にも同様のことが言える。
このとき、円の面積のうち${\frac {n}{N}}\left(1\leq n\leq {\frac {N-1}{2}}\right)$だけ切り出す直線を合計$(N-1)$本を引けば良いから、 解くべき方程式は

${\frac {n}{N}}\pi +{\frac {1}{2}}\sin(\theta _{n,N})={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta _{n,N}}{2}}$

になる。

作図

面積が三等分になるようなV字に切ったときに表れる角度と言う説明だが、 有名角でなく非線形方程式の解である角度が作図可能かという問題がある。 これに対して、ロープを利用した作図方法が考案されている。

関連項目

• ケーキを切れない非行少年たち