オイラー級数

オイラー級数とはこの等式である。

${\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi nx)}{n}}={\frac {1}{2}}-x,\;0<x<1$

オイラー級数はレオンハルト・オイラーが1744年7月4日のクリスティアン・ゴルトバッハ宛ての手紙の中で言及しているが、照明は示されていない。10年後、オイラーは著書『微分計算の原理』の中で証明を記した。オイラー級数はフーリエ級数に非常に簡単に展開できる関数である。ベルヌーイ多項式とポアソン和公式はこの級数に還元でき、解析学の基礎となる。

オイラー級数は級数の虚数部を形成する。

${\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi nx)}{n}}={\frac {1}{2}}-x,\;0<x<1$

主定理

区間$I:=(0,1)$が与えられていて、さらに、$a,b\in I,\ a<b$が$I$からの 2 点である。以下の関数列は${\bar {I}}:=[a,b]$で均一に収束し、次の式が成立する。

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi inx}}{n}}=-\log \left[2\sin(\pi x)\right]+i\pi \left({\frac {1}{2}}-x\right),\;0<x<1$