点と直線の距離

数学(ユークリッド幾何学)に於ける点と直線の距離とは点と直線の間の最短距離の事である。

概要

座標平面上(xy平面上)に或る直線lと直線l外の或る点が存在していたとする。するとこのl外の点から上記直線に垂線を降ろした時にその垂線の長さが上述の最短距離とゆー事になる。以下この最短距離を表す公式を導いてゆく事にしよう。

上述のl外の点とlに降ろした垂線の足をそれぞれ

$P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{0}=(x_{0},y_{0})$

と書く事にするとピタゴラスの定理により上記最短距離d(の2乗)は次式で表される。；

$d^{2}=(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}$

次に直線lが方程式

$ax+by+c=0$

即ち

$y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}$

で表されてたとしよう。ここで上記垂線を延長してlの交線l'を作ったらその方程式は

$y-y_{0}={\frac {b}{a}}(x-x_{0})$

で表される事になる。(※ここで「直交線の傾きは逆数のマイナス」を使った。) この交線l'に点(x₁,y₁)を代入し両辺をbで割って出てきた比をkとおく事にすると

${\frac {y_{1}-y_{0}}{b}}={\frac {x_{1}-x_{0}}{a}}=k$

が成り立つ。この式により

$d^{2}=(ak)^{2}+(bk)^{2}=k^{2}(a^{2}+b^{2})$

が得られる。 ここで直線lは(x₀,y₀)を通るので

$ax_{0}+by_{0}+c=0$

が成り立つ。従って

$a(x_{1}-ak)+b(y_{1}-bk)+c=ax_{1}+by_{1}+c-k(a^{2}+b^{2})=0$

すなわち

$k={\frac {ax_{1}+by_{1}+c}{a^{2}+b^{2}}}$

が言える。これと上述の距離(の2乗)の式により公式

• $d={\frac {|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

が導かれる。(導出終わり)//

応用

上述の公式を使うとxy平面上の曲線の漸近線を表す公式を(直観的ではあるが)証明する事ができる。

xy平面上に曲線Y=f(X)があったとする(独立変数＆従属変数をわざと大文字で書いてる)。この曲線の漸近線がy=ax+bで表されてたとして、以下この式のaとbの値を求める公式を証明する事にしよう。

点と直線の距離公式を上記曲線と漸近線の式に当て嵌めると

$d={\frac {|aX-Y+b|}{\sqrt {a^{2}+1^{2}}}}$

となるが、y=ax+bは漸近線だからこの距離dはX→∞で零に近づく筈である。従って変数Xが十分大きいとき

$aX-Y+b\fallingdotseq 0\cdots (*)$

が成り立つ。これにより

$b\fallingdotseq Y-aX$

が得られる。また(＊)÷X計算したら

$a-{\frac {Y}{X}}+{\frac {b}{X}}\fallingdotseq 0$

となるがXが超大きかったらb/X→0となるから上式よりa≒Y/Xが求まる。従って以下の如き等式が成り立つ事が分かった。 (証明終わり)

• $a=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}$
• $b=\lim _{x\to \pm \infty }\{f(x)-ax\}$

このa(傾き)とb(y切片)の値を求める事により曲線y=f(x)の漸近線を描く事ができる。