商の微分法
数学の微積分学分野に於ける商の微分法とは2つの関数を割り算「構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) \div g(x)} 」したよーな形になっている関数の微分の事である。
概要[編集]
2つの関数を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f=f(x),g=g(x)} とおいた時商の微分法の公式は次のように表わされる。；
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left(\frac{f}{g} \right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}}
(ただし構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g(x) \neq 0} である。)
証明[編集]
微分する関数を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h(x)=f(x)/g(x)} とおいてこの関数の増分を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Delta h} と書く事にすれば導関数の定義式より以下の如き極限が成り立つ。； 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{\Delta h}{\Delta x} &=\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}=\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}\\&=\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot g(x)g(x+\Delta x)}\\&=\frac{1}{g(x)g(x+\Delta x)}\left \{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x)-f(x) \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \right \}\\& \to \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2},(\Delta x \to 0) \end{align}} 尚、計算の途中で同じ物「構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)g(x)} 」を引いて足すとゆー変形を行った。(証明終)
※ちなみに構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f=gh} とおいて積の微分法を使うと構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f'=g'h+gh'} より 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h'=\frac{f'-g'h}{g}=\frac{f'-g'(f/g)}{g}=\frac{f'g-fg'}{g^2}} っちゅー感じで別証できる☆
またfを1とおけば上述の定理の系として
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left(\frac{1}{g} \right)'=-\frac{g'}{g^2}}
が得られる。
利用例[編集]
商の微分法の系より 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x^{-n})'=\left(\frac{1}{x^n} \right)'=-\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}}=-nx^{-n-1}} が成り立つ。従って微分の公式構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}} はnが負の整数の時でも成立する事が証明できた。