商の微分法

数学の微積分学分野に於ける商の微分法とは2つの関数を割り算「$f(x)÷g(x)$」したよーな形になっている関数の微分の事である。

概要

2つの関数を$f=f(x),g=g(x)$とおいた時商の微分法の公式は次のように表わされる。；

• $\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

(ただし$g(x)\ne 0$である。)

証明

微分する関数を$h(x)=f(x)/g(x)$とおいてこの関数の増分を$\mathrm{\Delta }h$と書く事にすれば導関数の定義式より以下の如き極限が成り立つ。； $\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{\Delta }h}{\mathrm{\Delta }x}& =\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)}{g(x+\mathrm{\Delta }x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x\cdot g(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)}\\ & =\frac{1}{g(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)}\{\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}g(x)-f(x)\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\}\\ & \to \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2},(\mathrm{\Delta }x\to 0)\end{array}$ 尚、計算の途中で同じ物「$f(x)g(x)$」を引いて足すとゆー変形を行った。(証明終)

※ちなみに$f=gh$とおいて積の微分法を使うと$f^{\prime }=g^{\prime }h+g{h}^{\prime }$より $h^{\prime }=\frac{f^{\prime }-g^{\prime }h}{g}=\frac{f^{\prime }-g^{\prime }(f/g)}{g}=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ っちゅー感じで別証できる☆

またfを1とおけば上述の定理の系として

• $\left(\frac{1}{g}\right)=-\frac{g^{\prime }}{g^2}$

が得られる。

利用例

商の微分法の系より $(x^{-n}{)}^{\prime }=\left(\frac{1}{x^n}\right)=-\frac{n{x}^{n-1}}{x^{2n}}=-n{x}^{-n-1}$ が成り立つ。従って微分の公式$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$はnが負の整数の時でも成立する事が証明できた。

関連項目

• 積の微分法