ロルの定理

数学の微積分学分野に於けるロルの定理とは或る区間に存在する微分可能な関数$y=f(x)$が左右の端点で出力値を同じにするような関数であるときその区間には接線の傾き(即ち微分係数)が零になるようなx座標の点が存在する、という事を主張する定理である。

概要

数式を使って表現すると以下のようになる。

• 関数$y=f(x)$が閉区間$[a,b]$で連続かつ開区間$(a,b)$で微分可能であるとする。この時関数が$f(a)=f(b)$を満たすならば$f^{\prime }(c)=0$となるような実数cが少なくとも1つは存在する。

(※ただし$a<c<b$)

証明

関数$y=f(x)$が定数関数ならば微分係数は常に零であるから$f(x)\ne f(a)$であるとする。上記関数は上述の閉区間内で連続だから$f(x)$を最大にするような点cが存在する(最大値最小値の定理)。このとき十分小さな実数hに対して$f(c+h)\leqq f(c)$が成り立つ。従って

$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leqq 0,(h>0)$

$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geqq 0,(h<0)$

が言えるが、これらに$h\to 0$の極限をとれば

$f^{\prime }(c)=0$

が成立する。(証明終)

関連項目

• 平均値の定理