ディラック演算子

ディラック演算子とは二階演算子(よく使われるものはラプラス演算子とそれに類似するもの)の平方根である微分演算子の総称である。つまり、二階演算子$\mathrm{\Delta }$に対してディラック演算子$D$は、

$D^2=\mathrm{\Delta }$

高エネルギー物理学では、これはしばしば緩和され、$D^2$の部分が$\mathrm{\Delta }$と一致することだけが仮定される。

名前はイギリスの物理学者のポール・ディラックにちなむ。

例

• $D=-i\cdot {\partial }_x$は直線上の接束上のディラック演算子である。
• リーマン多様体上の微分形式に対して、ディラック演算子は次のように定義される。

$D=\sum _i{e}_i\cdot {\mathrm{\nabla }}_{e_i}$

ここで$e_i$は点における直交基底、$\mathrm{\nabla }$は接続性、$\cdot$はクリフォード代数である。そして、その二乗は

$D^2=\sum _{i,j}{e}_i\cdot e_j\cdot \underset{e_i,e_j}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}$

となる。これはディラックのラプラシアンと呼ばれ、関数に対してはラプラス=ベルトラミ演算子と一致するが、全ての次数の形式に対しても定義できる。