ディラック演算子

ディラック演算子とは二階演算子(よく使われるものはラプラス演算子とそれに類似するもの)の平方根である微分演算子の総称である。つまり、二階演算子$\Delta$に対してディラック演算子$D$は、

$D^{2}=\Delta$

高エネルギー物理学では、これはしばしば緩和され、$D^{2}$の部分が$\Delta$と一致することだけが仮定される。

名前はイギリスの物理学者のポール・ディラックにちなむ。

例

• $D=-i\cdot \partial _{x}$は直線上の接束上のディラック演算子である。
• リーマン多様体上の微分形式に対して、ディラック演算子は次のように定義される。

$D=\sum _{i}e_{i}\cdot \nabla _{e_{i}}$

ここで$e_{i}$は点における直交基底、$\nabla$は接続性、$\cdot$はクリフォード代数である。そして、その二乗は

$D^{2}=\sum _{i,j}e_{i}\cdot e_{j}\cdot \nabla _{e_{i},e_{j}}^{2}$

となる。これはディラックのラプラシアンと呼ばれ、関数に対してはラプラス=ベルトラミ演算子と一致するが、全ての次数の形式に対しても定義できる。