ジュコーフスキー変換

ジュコーフスキー変換とは、複素数上での変換の一種。$w=z+{\frac {a^{2}}{z}}(a=Const)$で表せられる。 ロシア帝国の航空流体力学学者ニコライ・ジュコーフスキーの名にちなむ。

概要

$z$平面上の様々な円をジュコーフスキー変換して得られる$w$平面上の形状をジュコーフスキー翼と呼ぶ。 この変換は等角写像である。流体力学、特に翼型の理論においては複素速度ポテンシャルを用いて$z$平面上の円の周りの流れを表し、 それをジュコーフスキー変換によって$w$平面上の翼の周りの流れへと変換して流れ場を調べる。

例

$z$平面上の特定の図形をジュコーフスキー変換した$w$平面は以下のようである。 ただし、$a>0$とする。

原点中心の円

円の半径を$r$とする。数式では、$|z|=r$。

$r=a$のとき

$w$は、2点$-2a,2a$を結ぶ線分になる。

$r>a$のとき

$w$は、原点中心の長径(実軸方向)$r+{\frac {a^{2}}{r}}$,短径(虚軸方向)$r-{\frac {a^{2}}{r}}$の楕円になる。

$0<r<a$のとき

$w$は、原点中心の長径(実軸方向)$r+{\frac {a^{2}}{r}}$,短径(虚軸方向)$-r+{\frac {a^{2}}{r}}$の楕円になる。

原点からのびる偏角一定の半直線

$z$の偏角を$\theta (-\pi <\theta \leq \pi )$とする。数式では、$\arg(z)=\theta$。

$\theta =0,\pi$のとき

$w$は、直線$y=0$になる。

$\theta =\pm {\frac {\pi }{2}}$のとき

$w$は、直線$x=0$になる。

$0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$のとき

$w$は、双曲線の実部が正の部分になる。