コーシーの積分定理

コーシーの積分定理とは複素解析理論における定理である。

定理

$D\subset \mathbb{ℂ}$を領域とし、関数$f(z)$が$D$において全純であり、$\overline{D}$の閉包において連続であるとする。このとき、ある単連結領域$A\subset \mathbb{ℂ}$および$A$ないの任意のジョルダン曲線$\mathrm{\Gamma }\subset A$において関係式${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}f(z)dz=0$が成り立つ。

証明

領域$D$が単連結であり、関数$f$の導関数が連続である場合の証明を示す。コーシー=リーマンの等式により、微分形式$f(z)dz$は閉形式であることがわかる。ここで、$\gamma$を関数$f(z)$の定義域内にあり、領域$D$を境界とする、閉じた自己交差のない区間ごとに滑らかな閉曲線とする。すると、ストークスの定理によって、

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=\underset{\partial D}{\int }f(z)dz=\int Dd[f(z)dz]=0$

一般化

導関数の連続性に関する追加の仮定を一切必要とせずに証明ができる。証明の要点は、微分形式$f(z)dz$の原始関数が存在することを示せば十分である点にある。そのためには、座標軸に平行な辺を持つ任意の長方形に対する積分が0であることを証明すればよい。

もし、この積分が0とは異なり、数$a$に等しいとすれば、その長方形(再び座標軸に平行な辺を有する)4つの等しい長方形に分割すると、そのうち1つの長方形に対する積分の絶対値は、最大で4分の1に減少する。それをさらに分割し、この過程を続ける。しかし、この組み込まれた長方形の列には共通点$p$が存在しなければならず、その十分に小さい近傍において、$f(z)=f(p)+f^{\prime }(p)(z-p)+o(z-p)$が成り立つ。

しかし、最初の2項を非常に近い長方形で積分すると、0になり、最後の項の積分は小さすぎる。この矛盾が定理を証明する。

ほかの定理

コーシーの定理の限定された逆定理は、モレラの定理がある。また、コーシーの定理を多次元複素空間の場合に一般化したものがコーシー=ポアンカレの定理である。