ガウスの足し算
ガウスの足し算（がうすのたしざん）とは、カール・フリードリヒ・ガウスが幼少期時代に編み出した計算方法である。
これは数学Bの数列の和を応用した計算方法であり、数学界でも有名な逸話として残っている。
概要[編集]
『ガウスが7歳の時、都合で数学教師が席を外さなくてはならなくなった。そこで、数学教師は「1から100まで全ての数を足して求めよ」という問題を出した。
数学教師は「いくら何でも直ぐには答えられない、相当な時間がかかるであろう。」と考えていた。そして、数学教師がドアノブに手をかけた瞬間にガウスが「5050」と答えを出したのである。勿論、この回答は正解であり周りの生徒も、そして問題を出した数学教師も愕然としていた。
ガウスが導き出した回答は以下である。
まず、100+1、99+2、98+3、…、1+100という具合に計算する。すると101が50個出来るため、101×50とする事によって5050が導き出せる。となるとガウスは7歳で等差数列を独学で習得したことになる。これを筆算で表すと
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} S_1&= \color{red} 1 \color{green} + 2 \color{blue} + 3 \color{black} + \dotsb \color{magenta} + 100 \\[5pt] {}+ S_2 &= \color{red} 100 \color{green} + 99 \color{blue} + 98 \color{black} + \dotsb \color{magenta} + 1\\ \hline 2S_3 &= \color{red} 101 \color{green} + 101 \color{blue} + 101 \color{black} + \dotsb \color{magenta} + 101 \end{align}}
となる。なので構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 2S} を求めると
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 2S=101} × 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 100}
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 2} を右辺に移行して
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S=} 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{2}} ×構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 101} ×構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 100}
したがって
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S=50} ×構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 101=5050}
と表される。
従ってこれを等差数列の和の公式構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S=} 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{2}} 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n(a+l)} に当てはめたとしても同じ答えとなる。
例えば本項目での数列で表してみると、初項が構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): 1 、末項が構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 100} 、項数も構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 100} であるから、それを公式に代入する。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S=} 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{2}} ×構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 100} ×構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (1+100)}
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S=50} ×構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 101}
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S=5050}
従って、私たちが高校生で習う等差数列の和の公式を使うことによって楽に早く計算できるモノを、ガウスは弱冠 7歳にして独自の考えで導き出している。』という。 そのため、ガウスがどれほどの神童さを発揮していたかを物語っている。
補足[編集]
…… とされているが、その別証明を小学校三年生に見せられて orz になった経験がある。
「1 から 100 の合計」は、「0 から 100 の合計（0 プラス「1 から 100 の合計」）」に等しい。
ゆえに、「0 から 100 の合計」は、「百×百一の半分に等しい」。
ゆえに、「1 から 100 の合計」は、5,050 に等しい。