エーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理またはエーレンフェスト方程式とは、ハミルトニアン系の観測量の平均値に関する量子力学方程式の形に関する定理である。この定理は1927年にパウル・エーレンフェストによってはじめて導入された。

完全な類似性は、いくつかの条件が満たされた場合のみ発生する。ハミルトニアン系の量子観測量の平均値に対するエーレンフェスト方程式は、

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$

• $A$=量子観測量
• $H$=ハミルトニアン演算子

この式は、ハイゼンベルクの不確定性原理から導出可能である。

特殊な場合、粒子$q$の座標と運動量$p$の平均値は以下の式で記述される。

$\frac{d}{dt}⟨q⟩=\frac{1}{m}⟨p⟩$

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=-⟨\frac{\partial U}{\partial q}⟩$

• $m$=粒子の質量
• $U(q)$=粒子の位置エネルギー演算子

平均座標と平均運動量に関するエーレンフェスト方程式は、標準ハミルトニアン方程式の量子力学的対応物であり、ニュートンの第二法則の量子力学一般化を与える。