よみもの:数学 定義集

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このよみものは、数学用語の定義集です。

はじめに

記号・記法

ここでは、一階述語論理を採用します。論理記号 $\mathrm{\neg },\wedge ,\vee ,\Rightarrow ,\iff ,\mathrm{\forall },\mathrm{\exists },\mathrm{\exists }!,=$ の意味は、よく知られている通りです。

論理式 $\phi$ に変数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ が自由に現れうることを強調したいとき、$\phi$ の代わりに、$\phi (x_1,x_2,\dots ,x_n)$ と書きます。$\phi (x)$ の $x$ に $y$ を代入した論理式を、$\phi (y)$ と書きます。

公理

ZFC を採用します。もし圏論について書くことがあれば、TG（Tarski–Grothendieck 集合論）を採用します。

このページにおける ZFC とは、2項述語記号 $\in$ を持ち、

• 外延性公理：$\mathrm{\forall }x(x\in A⟺x\in B)⟹A=B$
• 空集合公理：$\mathrm{\exists }X,\mathrm{\forall }x,x\notin X$
• 分出公理図式：$\{x\mid x\in A\wedge \phi (x)\}$ は集合である
• 和集合公理：$\{x\mid \mathrm{\exists }X,x\in X\in {𝒮}\}$ は集合である
• 対の公理：$\{x\mid x=a\vee x=b\}$ は集合である
• 冪集合公理：$\{X\mid X\subseteq A\}$ は集合である
• 無限公理：帰納的集合が存在する
• 置換公理図式：$\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }!y,\phi (x,y)$ なら、$\{y\mid \mathrm{\exists }x\in A,\phi (x,y)\}$ は集合である
• 選択公理：全ての集合は選択関数を持つ
• 正則性公理：$x\ne \varnothing ⟹\mathrm{\exists }y\in x,\mathrm{\forall }z\in y,z\notin x$

を公理とする理論です。また、TG とは、ZFC に

• 宇宙の公理：$A\in {𝒰}$ なる Grothendieck 宇宙 ${𝒰}$ が存在する

を追加した理論です。

以上の公理は、実際には全て論理記号と $\in$ だけを使った論理式へと書き換えられます。