代数的量子論とは、量子系は位相的非ノルム代数 A {\displaystyle A} と、この代数上の連続的な正の形式 f {\displaystyle f} によって特徴づけられる理論である。 A {\displaystyle A} の要素は量子系の観測量を記述し、それらの値 f ( a ) {\displaystyle f(a)} はこれらの観測量の平均値として解釈される。ここで、形式 f {\displaystyle f} はいわゆるGNS構成法に従って、ヒルベルト空間における演算子による A {\displaystyle A} の表現を定義する。
最も発達している代数的量子論は C ∗ {\displaystyle C^{*}} -代数及びフォン・ノイマン代数を用いたものである。しかし、GNS構成では、場の量子論で考えられる非ノルム代数の場合でも一般化できる。第二交換関係の非ノルム代数に適用した場合、GNS構成は第二量子化と適合する。
